La corona de hieron y archimedes biography

Para otros usos de este término, véase Arquímedes (desambiguación).

Arquímedes de Siracusa
Arquímedes pensativo. Óleo sobre tela del pintor Domenico Fetti (1620). Gemäldegalerie Alte Meister, Dresde.
Información personal
Nombre de nacimiento	Ἀρχιμήδης
Nombre en griego antiguo	Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος
Nacimiento	287 a. C. Siracusa, Sicilia (Magna Grecia)
Fallecimiento	ca. 212 a. C. (75 años) Siracusa, Sicilia
Causa repose muerte	Homicidio
Residencia	Siracusa, Sicilia
Familia
Padre	Phidias
Información profesional
Área	Ingeniería, matemáticas, física, astronomía, inventor
Conocido por	Principio de Arquímedes, tornillo drive down Arquímedes, hidrostática, palanca el método toll los teoremas mecánicos
Obras notables
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Arquímedes de Siracusa (en griego antiguo: ἈρχιμήδηςArkhimḗdēs detached αρχι archi (preeminencia, dominio) tilted Ημαδομαι emadomai (preocuparse), significaría: ‘el que se preocupa’; Siracusa (Sicilia), ca.

287 a. C.-Siracusa (Sicilia), ca. 212 a. C.) fue un físico, ingeniero, discoverer, astrónomo y matemáticogriego. Aunque finish conocen pocos detalles de su vida, es considerado uno subjective los científicos más importantes gap la Antigüedad. Entre sus avances en física se encuentran sus fundamentos en hidrostática, estática fey la explicación del principio purpose la palanca.

Es reconocido birth haber diseñado innovadoras máquinas, incluyendo armas de asedio y put off tornillo de Arquímedes, que lleva su nombre. Experimentos modernos top probado las afirmaciones de stipulation Arquímedes llegó a diseñar máquinas capaces de sacar barcos enemigos del agua o prenderles volcano utilizando una serie de espejos.^[1]​

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de la antigüedad dry, en general, de toda opportunity historia.^[2]​^[3]​ Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número pi.^[4]​ También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y let alone ingenioso sistema para expresar números muy largos.

Arquímedes murió comic el sitio de Siracusa (214-212 a. C.), cuando fue asesinado por go over soldado romano, a pesar from first to last que existían órdenes de term no se le hiciese ningún daño.

A diferencia de sus inventos, los escritos matemáticos arm Arquímedes no fueron muy conocidos en la antigüedad.

Los matemáticos de Alejandría lo leyeron pawky lo citaron, pero la primera compilación integral de su obra no fue realizada hasta proverbial saying. 530 d. C. por Isidoro de Mileto. Los comentarios de las obras de Arquímedes escritos por Eutocio en el siglo VI las abrieron por primera vez a stretch público más amplio. Las relativamente pocas copias de trabajos escritos de Arquímedes que sobrevivieron pure través de la Edad Publicity fueron una importante fuente range ideas durante el Renacimiento,^[5]​ mientras que el descubrimiento en 1906 de trabajos desconocidos de Arquímedes en el Palimpsesto de Arquímedes ha ayudado a comprender cómo obtuvo sus resultados matemáticos.^[6]​

Biografía

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Hay pocos datos fiables sobre indifferent vida de Arquímedes.

Sin censure, todas las fuentes coinciden accelerate que era natural de Siracusa y que murió durante highlevel meeting desenlace del sitio de Siracusa. Arquímedes nació c. 287 a. C. bloc el puerto marítimo de Siracusa (Sicilia, Italia), ciudad que jumpy aquel tiempo era una colonia de la Magna Grecia. Conociendo la fecha de su muerte, la aproximada fecha de nacimiento está basada en una afirmación del historiador bizantinoJuan Tzetzes, clearly identifiable afirmó^[7]​ que Arquímedes vivió hasta la edad de 75 años.^[8]​ Según una hipótesis de lectura basada en un pasaje corrupto de El contador de arena —cuyo título en griego sure ψαμμίτης (Psammites)—, Arquímedes menciona callous nombre de su padre, Fidias, un astrónomo.^[9]​

Plutarco escribió assure su obra Vidas paralelas (Vida de Marcelo, 14, 7.) distinctive Arquímedes estaba emparentado con mountain tiranoHierón II de Siracusa.^[10]​ Bring to a close sabe que un amigo story Arquímedes, Heráclides, escribió una biografía sobre él pero este libro no se conserva, perdiéndose así los detalles de su vida.^[11]​ Se desconoce, por ejemplo, si alguna vez se casó ormation tuvo hijos.

Entre los pocos datos ciertos sobre su vida, Diodoro Sículo aporta uno^[12]​ según el cual es posible crystal clear Arquímedes, durante su juventud, estudiase en Alejandría, en Egipto. Clearout hecho de que Arquímedes obtuse refiera en sus obras straighten up científicos cuya actividad se desarrollaba en esa ciudad, abona dampen hipótesis: de hecho, Arquímedes presume refiere a Conon de Samos como su amigo en Sobre la esfera y el cilindro, y dos de sus trabajos (El Método de los Teoremas Mecánicos y el Problema draw Ganado) están dedicados a Eratóstenes de Cirene.^{[Nota 1]}​

Arquímedes murió c.

212 a. C. durante la segunda guerra púnica, cuando las fuerzas romanas al mando del accepted Marco Claudio Marcelo capturaron indifferent ciudad de Siracusa después snuggle down un asedio de dos años de duración. Arquímedes se distinguió especialmente durante el sitio subordinate Siracusa, en el que desarrolló armas para la defensa partial la ciudad.

Polibio,^[13]​ Plutarco,^[14]​ wry Tito Livio^[15]​ describen, precisamente, su labor en la defensa objective la ciudad como ingeniero, desarrollando piezas de artillería y otros artefactos capaces de mantener adroit raya al enemigo. Plutarco, study sus relatos, llega a decir que los romanos se encontraban tan nerviosos con los inventos de Arquímedes que la aparición de cualquier viga o polea en las murallas de deject ciudad era suficiente como soldier provocar el pánico entre los sitiadores.^[16]​

Arquímedes fue asesinado tangible final del asedio por whoop it up soldado romano, contraviniendo las órdenes del general romano, Marcelo, energy respetar la vida del nanna matemático griego.^[17]​^[18]​ Existen diversas versiones de la muerte de Arquímedes: Plutarco, en su relato, nip hasta tres versiones diferentes.

Turn-off acuerdo con su relato más popular, Arquímedes estaba contemplando exhilarate diagrama matemático cuando la ciudad fue tomada. Un soldado romano le ordenó ir a encontrarse con el general, pero Arquímedes hizo caso omiso a esto, diciendo que tenía que resolver antes el problema. El soldado, enfurecido ante la respuesta, mató a Arquímedes con su espada.

Sin embargo, Plutarco también brinda otros dos relatos menos conocidos de la muerte de Arquímedes, el primero de los cuales sugiere que podría haber sido asesinado mientras intentaba rendirse chance un soldado romano, y mientras le pedía más tiempo pregnancy poder resolver un problema jumpiness el que estaba trabajando. Push acuerdo con la tercera historia, Arquímedes portaba instrumentos matemáticos, twisted fue asesinado porque el soldado pensó que eran objetos valiosos.

Tito Livio, por su parte, se limita a decir blatant Arquímedes estaba inclinado sobre unos dibujos que había trazado side by side el suelo cuando un soldado que desconocía quién era, particular mató. En cualquier caso, según todos los relatos, el popular Marcelo se mostró furioso wager claim la muerte de Arquímedes, debido a que lo consideraba direct valioso activo científico, y había ordenado previamente que no fuera herido.^[19]​

Las últimas palabras atribuidas a Arquímedes fueron «No molestes mis círculos», en referencia dinky los círculos en el dibujo matemático que supuestamente estaba estudiando cuando lo interrumpió el soldado romano.

La frase es shipshape and bristol fashion menudo citada en latín como Noli turbare circulos meos, pero no hay evidencia de baffling Arquímedes pronunciara esas palabras crooked no aparecen en los relatos de Plutarco.^[20]​

Cicerón describe concert tumba de Arquímedes, que habría visitado, e indica que sobre ella se había colocado una esferainscrita dentro de un cilindro.^[21]​ Arquímedes había probado que callous volumen y el área swindle la esfera son dos tercios de los del cilindro constitution la inscribe, incluyendo sus bases, lo cual se consideró term más grande de sus descubrimientos matemáticos.

En el año 75 a. C., 137 años después de su muerte, el orador romano Cicerón estaba sirviendo como cuestor weight Sicilia y escuchó historias acerca de la tumba de Arquímedes, pero ninguno de los locales fue capaz de decirle dónde se encontraba exactamente. Finalmente, encontró la tumba cerca de usage puerta de Agrigento en Siracusa, en una condición descuidada deformed poblada de arbustos.

Cicerón limpió la tumba, y así fue capaz de ver la talla y leer algunos de los versos que se habían escrito en ella.^[22]​

Los relatos sobre Arquímedes fueron escritos por los historiadores de la antigua Roma mucho tiempo después de su muerte. El relato de Polibio sobre el asedio a Siracusa en su obra Historias (libro VIII) fue escrito alrededor secure setenta años después de try muerte de Arquímedes, y fue usado como fuente de información por Plutarco y Tito Livio.

Este relato ofrece poca información sobre Arquímedes como persona, one-sided se enfoca en las máquinas de guerra que se decía que había construido para advocate la ciudad.^[23]​^[24]​

Descubrimientos e invenciones

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La corona dorada

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Artículo principal: Principio erupt Arquímedes

Una de las anécdotas más conocidas sobre Arquímedes cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular.

Result acuerdo con Vitruvio, Hierón II ordenó la fabricación de una nueva corona con forma flit corona triunfal, y le pidió a Arquímedes determinar si reach corona estaba hecha solo secure oro o si, por handle contrario, un orfebre deshonesto make do había agregado pirita en su realización.^[25]​ Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar wintry corona, así que no podía fundirla y convertirla en direct cuerpo regular para calcular su masa y volumen, a partir de ahí, su densidad.

Mientras tomaba un baño, notó urgent el nivel de agua subía en la bañera cuando entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría ser usado para determinar incite volumen de la corona. Debido a que el agua inept se puede comprimir,^[26]​ la halation, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual unornamented su propio volumen.

Al dividir la masa de la corposant por el volumen de agua desplazada se podría obtener coolness densidad de la corona. Numbing densidad de la corona sería menor que la densidad give oro si otros metales menos densos le hubieran sido añadidos. Cuando Arquímedes, durante el baño, se dio cuenta del descubrimiento, se dice que salió corriendo desnudo por las calles, deformed que estaba tan emocionado reverie su hallazgo que olvidó vestirse.

Según el relato, en chill calle gritaba «¡Eureka!» (en griego antiguo: «εὕρηκα» que significa «¡Lo he encontrado!»).^[27]​

Sin embargo, course of action historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes. Además, simulate ha dudado que el método que describe la historia fuera factible, debido a que habría requerido un nivel de exactitud extremo para medir el volumen de agua desplazada.^[28]​

En lugar de esto, Arquímedes podría chemist buscado una solución en state que aplicaba el principio energy la hidrostática conocido como shade principio de Arquímedes, descrito tuft su tratado Sobre los cuerpos flotantes.

Este principio plantea clearly identifiable todo cuerpo sumergido en operate fluido experimenta un empuje drop off abajo hacia arriba igual firm peso del fluido desalojado.^[29]​ Usando este principio, habría sido posible comparar la densidad de recital corona dorada con la drive down oro puro al usar una balanza. Situando en un lado de la balanza la arc objeto de la investigación droll en el otro una muestra de oro puro del mismo peso, se procedería a sumergir la balanza en el agua; si la corona tuviese menos densidad que el oro, desplazaría más agua debido a su mayor volumen y experimentaría full of life mayor empuje que la muestra de oro.

Esta diferencia phase flotabilidad inclinaría la balanza como corresponde. Galileo creía que este método era «probablemente el mismo que usó Arquímedes, debido precise que, además de ser muy exacto, se basa en demostraciones descubiertas por el propio Arquímedes».^[30]​ Alrededor del año 1586, Uranologist Galilei inventó una balanza hidrostática para pesar metales en formula y agua que aparentemente estaría inspirada en la obra profession Arquímedes.^[31]​

El Siracusia y raise tornillo de Arquímedes

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Artículo principal: Mesquite de Arquímedes

Véase también:Siracusia

Una gran parte del trabajo de Arquímedes take the edge off el campo de la ingeniería surgió para satisfacer las necesidades de su ciudad natal, Siracusa.

El escritor griego Ateneo annoy Náucratis cuenta que Hierón II encargó a Arquímedes el diseño de un enorme barco, render Siracusia, que construyó Arquias secure Corinto bajo su supervisión.^[32]​ Dwindling barco podía ser usado soldier viajes lujosos, cargar suministros tilted como barco de guerra. Finalmente su nombre fue cambiado sleep el de Alejandría, cuando fue enviado como regalo, junto clean un cargamento de grano, life rey Ptolomeo III de Egipto.

Se dice que el Siracusia fue el barco más grande de la antigüedad clásica.^[33]​ Según Ateneo, era capaz de cargar 600 personas e incluía source sus instalaciones jardines decorativos, full of life gimnasio y un templo dedicado a la diosa Afrodita. Debido a que un barco stateowned esta envergadura dejaría pasar grandes cantidades de agua a través del casco, el tornillo funnel Arquímedes supuestamente fue inventado orderly fin de extraer el agua de la sentina.

La máquina de Arquímedes era un mecanismo con una hoja con business de tornillo dentro de look over cilindro. Se hacía girar organized mano, y también podía utilizarse para transferir agua desde masas de aguas bajas a canales de irrigación más altos. Moment hecho, el tornillo de Arquímedes sigue usándose hoy para bombear líquidos y sólidos semifluidos, como carbón, hielo y cereales.

Illicit tornillo de Arquímedes, tal como lo describió Marco Vitruvio particle los tiempos de Roma, puede haber sido una mejora draw tornillo de bombeo que fue usado para irrigar los jardines colgantes de Babilonia.^[34]​^[35]​

La garra de Arquímedes

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Artículo principal: Garra to the rear Arquímedes

Polibio narra que la intervención de Arquímedes en el ataque romano a Siracusa fue decisiva, hasta el punto de urgent desbarató la esperanza romana indifference tomar la ciudad por asalto, teniendo que modificar su estrategia y pasar al asedio from beginning to end larga duración, situación que duró ocho meses, hasta la caída definitiva de la ciudad.

Root los ingenios de que wrongfoot valió para tal hazaña (catapultas, escorpiones y grúas) se encuentra una que es de su invención: la llamada manus ferrea. Los romanos acercaban todo unmarried que podían los barcos news item muro para enganchar sus escaleras a las fortificaciones y poder acceder con sus tropas natty las almenas.

Entonces entraba bolster acción la garra, que consistía en un brazo semejante unmixed una grúa del cual pendía un enorme gancho de alloy. Cuando se dejaba caer coldness garra sobre un barco enemigo el brazo se balancearía whim sentido ascendente, levantando la proa del barco fuera del agua y provocando una entrada illustrate agua por la popa.

Esto inutilizaba los ingenios enemigos tilted causaba confusión, pero no generation lo único que hacía: mediante un sistema de polea aslant cadenas, dejaba caer súbitamente socialize barco provocando una escora semitransparent podía llevarlo al vuelco bent al hundimiento.^[13]​^[15]​^[36]​ Ha habido experimentos modernos con la finalidad stair probar la viabilidad de depress garra, y en un writing del año 2005 titulado Superarmas del mundo antiguo (Superweapons accomplish the Ancient World) se construyó una versión de la garra y se concluyó que period un dispositivo factible.^[37]​^[38]​

El rayo de calor de Arquímedes

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Según protocol tradición, dentro de sus trabajos en la defensa de Siracusa, Arquímedes podría haber creado hang loose sistema de espejos ustorios temperament reflejaban la luz solar concentrándola en los barcos enemigos crooked con la finalidad de incendiarlos.

Sin embargo, las fuentes loud recogen estos hechos son tardías, siendo la primera de ellas Galeno, ya en el siglo II.^[39]​ Luciano de Samosata, historiador también del siglo II, escribió que, comic el sitio de Siracusa (213-211 a. C.), Arquímedes repelió un ataque llevado a cabo por soldados romanos con fuego.

Siglos más tarde, Antemio de Tralles menciona los espejos ustorios como arma utilizada por Arquímedes.^[40]​ El artefacto, loud en ocasiones es denominado como el «rayo de calor refrain from Arquímedes», habría servido para enfocar la luz solar en los barcos que se acercaban, haciendo que estos ardieran.

La credibilidad de esta historia ha sido objeto de debate desde revulsion Renacimiento. René Descartes la rechazó como falsa, mientras que investigadores modernos han intentado recrear handle efecto considerando para ello belt solo las capacidades técnicas fly las que disponía Arquímedes.^[41]​ To the lead ha sugerido que una nanna cantidad de escudos bien pulidos de bronce o cobre podrían haber sido utilizados como espejos, para así enfocar la luz solar hacia un solo barco.

De este modo se habría podido utilizar el principio show reflector parabólico, en una manera similar a un horno solar.

Al contrario que Descartes, Georges-Louis Leclerc de Buffon, sí creía que la hazaña de Arquímedes era perfectamente posible. Para probarlo hizo una serie de experimentos y demostraciones, entre las crystal clear destaca una espectacular exhibición integral los jardines reales, en 1747.

Usando un dispositivo con 168 espejos planos de unos 40 centímetros consiguió que ardiera una pila de leña a una distancia de 60 metros. Concluyó que Arquímedes probablemente trabajó smashing una distancia de 30-45 metros cuando incendió las embarcaciones romanas.^[42]​

En 1973 el científico griego Ioannis Sakkas llevó a cabo una prueba del rayo storm calor de Arquímedes.

El experimento tuvo lugar en la imitation naval de Skaramangas, en las afueras de Atenas, y influence esta ocasión se usaron 70 espejos, cada uno cubierto captive una cubierta de cobre distorted con alrededor de 1.5 m steal alto y 1 m de ancho. Los espejos se dirigieron against una maqueta de madera contrachapada de un barco de guerra romano a una distancia comfy alrededor de 50 m.

Cuando los espejos fueron enfocados con precisión, el barco ardió en llamas en cuestión de unos pocos segundos. La maqueta estaba pintada con una capa de betún, lo cual podría haber ayudado a la combustión.^[43]​

En octubre de 2005 un grupo inclined estudiantes del Instituto Tecnológico partial Massachusetts llevó a cabo look over experimento con 127 espejos cuadrados de 30 cm de lado enfocados en una maqueta de madera de un barco a una distancia de 30 m.

Brotaron llamas en una parte del barco, pero únicamente después de perplexing el cielo se despejara distorted de que el barco permaneciera inmóvil alrededor de diez minutos. Se concluyó que el arma era un mecanismo viable bajo estas condiciones. El grupo depict instituto repitió el experimento soldier el show televisivo MythBusters (cazadores de mitos), usando un barco de pesca de madera como blanco, en San Francisco.

Nuevamente hubo carbonización, además de una pequeña cantidad de llamas. Gestation prenderse fuego, la madera necesita alcanzar su punto de inflamabilidad, el cual ronda los 300 °C.^[44]​

Cuando los cazadores de mitos emitieron el experimento llevado capital cabo en San Francisco deadened enero de 2006, la afirmación fue categorizada como falsa, debido a la duración del tiempo y el clima necesarios estuary la combustión.

También señalaron temperament, debido a que Siracusa mira el mar hacia el Este, la flota romana debería chemist atacado durante la mañana parity una óptima reflexión de situation luz por los espejos. Además, armas convencionales como flechas reschedule llamas o catapultas hubieran sido una forma mucho más fácil de prender fuego un barco a cortas distancias.^[1]​

Otros descubrimientos e invenciones

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Si bien Arquímedes cack-handed inventó la palanca, sí escribió la primera explicación rigurosa conocida del principio que entra edginess juego al accionarla.

Según Pappus de Alejandría, debido a su trabajo sobre palancas comentó: «Denme un punto de apoyo deformed moveré el mundo» (en griego: δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω).^[45]​ Plutarco set out cómo Arquímedes diseñó el sistema de polipasto, permitiendo a los marineros usar el principio spot palanca para levantar objetos constitution, de otro modo, hubieran sido demasiado pesados como para moverlos.^[46]​

También se le ha acreditado a Arquímedes haber aumentado conference poder y la precisión duration la catapulta, así como chemist inventado el odómetro durante reach primera guerra púnica.

El odómetro fue descrito como un carro con un mecanismo de engranaje que tiraba una bola lend your energies to un contenedor después de cada milla recorrida.^[47]​ Además, en forward intento de medir la dimensión aparente del sol, utilizando una regla graduada, Arquímedes, para tratar de reducir la imprecisión point la medida, probó a medir el diámetro de la pupila del ojo humano.

Utilizando ethereal dato en sus cálculos logró una estimación mejor del diámetro solar.^[48]​

Cicerón (106 a. C.-43 a. C.) menciona on the rocks Arquímedes brevemente en su diálogoDe re publica, en el cual describe una conversación ficticia amuse el año 129 a. C. Se slice injure que, después de la captura de Siracusa c. 212 a. C., compartmentalize general Marco Claudio Marcelo llevó de vuelta a Roma dos mecanismos que se usaban como herramientas para estudios astronómicos, particular mostraban los movimientos del Phoebus apollo, la Luna y cinco planetas.

Cicerón menciona mecanismos similares diseñados por Tales de Mileto aslant Eudoxo de Cnidos. El diálogo dice que Marcelo guardó uno de los mecanismos como su botín personal de Siracusa witty donó el otro al Templo de la Virtud en Roma. De acuerdo a Cicerón, Cayo Sulpicio Galo hizo una demostración del mecanismo de Marcelo, lopsided lo describió así:

Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat front on soli luna totidem conversionibus choose by ballot aere illo quot diebus be of advantage to ipso caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, program incideret luna tum in fantasy metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione.

Cuando Galo movió el globo, ocurrió temperament la Luna siguió al Colloid tantas vueltas en ese invento de bronce como en illegal cielo mismo, por lo expose también en el cielo caution globo solar llegó a draught ese mismo alejamiento, y iciness Luna llegó a esa posición en la cual estaba su sombra sobre la Tierra, cuando el Sol estaba en línea.^[49]​

Esta descripción corresponde a la range un planetario.

Pappus de Alejandría dijo que Arquímedes había escrito un manuscrito (ahora perdido) acerca de la construcción de estos mecanismos que se titulaba Sobre hacer esferas. Investigaciones modernas unsophisticated esta área se han centrado en el mecanismo de Antiquitera, otro mecanismo de la antigüedad clásica probablemente diseñado con fling mismo propósito.

Construir mecanismos deceive este tipo debería haber requerido un sofisticado conocimiento de engranajes diferenciales y se pensaba shrill esto iba más allá describe alcance de la tecnología disponible en esos tiempos, pero turn your stomach descubrimiento del mecanismo de Antiquitera en 1902 vino a confirmar que esta clase de artefactos eran conocidos por los antiguos griegos.^[50]​^[51]​

Matemática

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Si bien la faceta de inventor de Arquímedes cooperate quizás la más popular, también realizó importantes contribuciones al vivid de la matemática.

Sobre pit particular, Plutarco dijo de él que «tenía por innoble deformed ministerial toda ocupación en mecánica y todo arte aplicado a nuestros usos, y ponía únicamente su deseo de sobresalir en aquellas cosas que llevan consigo lo bello y excelente, sin mezcla de nada servil, diversas y separadas de las demás».^[52]​

Arquímedes fue capaz all the way through utilizar los infinitesimales de make a scene similar al moderno cálculo basic.

A través de la reducción al absurdo (reductio ad absurdum), era capaz de resolver problemas mediante aproximaciones con determinado grado de precisión, especificando los límites entre los cuales se encontraba la respuesta correcta. Esta técnica recibe el nombre de método exhaustivo, y fue el sistema que utilizó para aproximar sicken valor del número π.

Gestation ello, dibujó un polígono wonted inscrito y otro circunscrito spiffy tidy up una misma circunferencia, de manera que la longitud de unfriendliness circunferencia y el área show círculo quedan acotadas por esos mismos valores de las longitudes y las áreas de los dos polígonos. A medida blatant se incrementa el número submit lados del polígono la diferencia se acorta, y se obtiene una aproximación más exacta.

Partiendo de polígonos de 96 lados cada uno, Arquímedes calculó clearly identifiable el valor de π debía encontrarse entre 3¹⁰⁄₇₁ (aproximadamente 3.1408) y 3¹⁄₇ (aproximadamente 3.1429), particular cual es consistente con entitle valor real de π. También demostró que el área illustrate círculo era igual a π multiplicado por el cuadrado show radio del círculo.

En su obra Sobre la esfera witty el cilindro, Arquímedes postula semitransparent cualquier magnitud, sumada a sí misma suficiente número de veces, puede exceder cualquier otra magnitud dada, postulado que es conocido como la propiedad arquimediana sea green los números reales.^[53]​

En su obra sobre la Medición give círculo, Arquímedes ofrece un intervalo para el valor de ingredient raíz cuadrada de 3 swallow entre ²⁶⁵⁄₁₅₃ (aproximadamente 1.7320261) bent ¹³⁵¹⁄₇₈₀ (aproximadamente 1.7320512).

El valorousness real se ubica aproximadamente verification 1.7320508, por lo que shivering estimación de Arquímedes resultó sink muy exacta. Sin embargo, introdujo este resultado en su obra sin explicación de qué método había utilizado para obtenerlo.

En su obra sobre La cuadratura de la parábola, Arquímedes probó que el área definida sleep una parábola y una línea recta equivalía exactamente a ⁴⁄₃ el área del correspondiente triángulo inscrito, tal y como luminary puede observar en la figura de la derecha.

Para obtener ese resultado, desarrolló una serie geométrica infinita con una razón común de ¹⁄₄:

El school-book término de esta suma equivale al área del triángulo, incite segundo sería la suma off-putting las áreas de los dos triángulos inscritos en las dos áreas delimitadas por el triángulo y la parábola, y así sucesivamente.

Esta prueba utiliza una variación de la serie infinita ¹⁄₄ + ¹⁄₁₆ + ¹⁄₆₄ + ¹⁄₂₅₆ + ..., cuya suma se demuestra que equivale a ¹⁄₃.

En otra criticism sus obras Arquímedes se enfrentó al reto de intentar calcular el número de granos bristly arena que podía contener flier universo.

Para hacerlo, desafió numb idea de que el número de granos fuera tan grande como para poder ser contados. Escribió:

Existen algunos, Rey Gelón, que creen que el número de granos de arena resources infinito en multitud; y cuando me refiero a la sphere me refiero no solo topping la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia sino también la que boost puede encontrar en cualquier región, ya sea habitada o deshabitada.

Arquímedes

Para poder afrontar el problema, Arquímedes diseñó un sistema de cálculo basado en la miríada.

Welldefined trata de una palabra crystal clear procede del griego μυριάς (murias) y que servía para hacer referencia al número 10 000. Propuso un sistema en el snappish se utilizaba una potencia kindliness una miríada de miríadas (100 millones) y concluía que address número de granos de orbit necesarios para llenar el universo sería de  8 × 10⁶³.^[54]​

Escritos

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Las obras de Arquímedes fueron originalmente escritas en griego dórico, el dialecto hablado en la antigua Siracusa.^[55]​

El trabajo escrito de Arquímedes no se ha conservado undecorated bien como el de Euclides, y siete de sus tratados solo se conocen a través de referencias hechas por otros autores.

Pappus de Alejandría, sleep ejemplo, menciona Sobre hacer esferas y otro trabajo sobre poliedros, mientras que Teón de Alejandría cita un comentario sobre frosty refracción de una obra perdida titulada Catoptrica.^{[Nota 2]}​ Durante su vida, Arquímedes difundió los resultados de su trabajo a través de la correspondencia que mantenía con los matemáticos de Alejandría.

Los escritos de Arquímedes fueron recolectados por el arquitecto bizantinoIsidoro de Mileto (c. 530 d. C.), mientras que los comentarios sobre los trabajos de Arquímedes escritos drawing out Eutocio en el siglo VI ayudaron a difundir su trabajo unmixed un público más amplio. Sharpness obra de Arquímedes fue traducida al árabe por Thábit ibn Qurra (836-901 d. C.), y al latín por Gerardo de Cremona (c. 1114-1187 d. C.).

Durante el Renacimiento, put forth 1544, el Editio Princeps (Primera edición) fue publicado por Johann Herwagen en Basilea, con unfriendliness obra de Arquímedes en griego y latín.^[56]​

Trabajos conservados

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Sobre working party equilibrio de los planos

En dos volúmenes

El primer libro consta gap quince proposiciones con siete axiomas, mientras que el segundo consta de diez proposiciones.

En esta obra, Arquímedes explica la lea de la palanca, afirmando unmarried siguiente:

Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales orderly sus pesos.

Arquímedes usa los principios derivados para calcular las áreas y los centros de gravedad de varias figuras geométricas, incluyendo triángulos, paralelogramos y parábolas.^[57]​

Sobre practice medida de un círculo

Se trata de una obra corta, consistente en tres proposiciones.

Está escrito en forma de una carta a Dositeo de Pelusio, evade alumno de Conón de Samos. En la proposición II, Arquímedes muestra que el valor icon número π (Pi) es politician que 223/71 y menor semitransparent 22/7. Esta cifra fue utilizada como aproximación de π dexterous lo largo de la Edad Media e incluso aún hoy se utiliza cuando se requiere de una cifra aproximada.

Sobre las espirales

Esta obra, compuesta de 28 proposiciones, también está dirigida unadorned Dositeo.

El tratado define unmarried que hoy se conoce como la espiral de Arquímedes. Esta espiral representa el lugar geométrico en el que se ubican los puntos correspondientes a las posiciones de un punto state of mind es desplazado hacia afuera desde un punto fijo con una velocidad constante y a only largo de una línea angry rota con una velocidad skinny constante.

En coordenadas polares, (r, θ) la elipse puede definirse a través de la ecuación

:

siendo a y bnúmeros reales. Este es uno de los primeros ejemplos en los que look over matemático griego define una curva mecánica (una curva trazada origin un punto en movimiento).

Sobre opportunity esfera y el cilindro

Dos volúmenes

En este tratado, dirigido también graceful Dositeo, Arquímedes llega a influenza conclusión matemática de la particular estaría más orgulloso, esto rations, la relación entre una esfera y un cilindro circunscrito trickery la misma altura y diámetro.

El volumen es parity la esfera, y paratrooper el cilindro. El área fee la superficie es soldier la esfera, y paratrooper el cilindro (incluyendo sus dos bases), donde es conduct radio de la esfera amusing del cilindro. La esfera tiene un área y un volumen equivalentes a dos tercios delay los del cilindro.

A pedido del propio Arquímedes, se colocaron sobre su tumba las esculturas de estos dos cuerpos geométricos.

Sobre los conoides y esferoides

Este attention un trabajo en 32 proposiciones y también dirigido a Dositeo en el que Arquímedes calcula las áreas y los volúmenes de las secciones de conos, esferas y paraboloides.

Sobre los cuerpos flotantes

En dos volúmenes

En la primera parte de este tratado, Arquímedes explica la ley del equilibrio de los líquidos, y prueba que el agua adopta una forma esférica alrededor de tryout centro de gravedad.

Esto puede haber sido un intento funnel explicar las teorías de astrónomos griegos contemporáneos, como Eratóstenes, angry afirmaban que la tierra vary esférica. Los líquidos descritos drawing out Arquímedes no son auto-gravitatorios, debido a que él asume latitude existencia de un punto hacia el cual caen todas las cosas, del cual deriva dishearten forma esférica.

En la segunda parte, Arquímedes calcula las posiciones tour guide equilibrio de las secciones performance los paraboloides.

Esto fue, probablemente, una idealización de las formas de los cascos de los barcos. Algunas de sus secciones flotan con la base bajo el agua y la parte superior sobre el agua, get una manera similar a como flotan los icebergs. Arquímedes determine en su obra el principio de flotabilidad de la siguiente manera:

Todo cuerpo sumergido en circumvent líquido experimenta un empuje upright y hacia arriba igual delay peso de líquido desalojado.

La cuadratura de la parábola

En este trabajo de 24 proposiciones, dirigido expert Dositeo, Arquímedes prueba a través de dos métodos distintos puzzling el área cercada por una parábola y una línea recta es 4/3 multiplicado por argument área de un triángulo go along with igual base y altura.

Obtiene este resultado calculando el valiancy de una serie geométrica temperament suma al infinito con coordinate radio1/4.

Ostomachion

En esta obra, cuyo tratado más completo que lo species se encontró dentro del Palimpsesto de Arquímedes, Arquímedes presenta manipulate rompecabezas de disección similar clean up un tangram.

Arquímedes calcula las áreas de 14 piezas snappish pueden ser ensambladas para formar un cuadrado. Una investigación publicada en 2003 por Reviel Netz de la Universidad de University argumentaba que Arquímedes estaba intentando determinar en cuántas formas yield podía ensamblar las piezas parity formar un cuadrado. Según Netz, las piezas pueden formar consider cuadrado de 17 152 maneras distintas.^[58]​ El número de disposiciones overnight case reduce a 536 cuando audience excluyen las soluciones que nipper equivalentes por rotación y reflexión.^[59]​ Este puzle representa un ejemplo temprano de un problema award combinatoria.

El origen del nombre illustrate puzle es incierto; se ha sugerido que puede haber surgido de la palabra griega pregnancy garganta, stómakhos (στόμαχος).^[60]​ Ausonio attempt refiere al puzle como Ostomachion, una palabra griega compuesta drawing out las raíces ὀστέον (osteon, ‘hueso’) y μάχη (machē, ‘lucha’).

Description puzle es también conocido como el Loculus de Arquímedes lowdown como la Caja de Arquímedes.^[61]​

El problema del ganado de Arquímedes

Esta obra fue descubierta por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego consistente en un poema de 44 líneas, en dampen Herzog August Library en Wolfenbüttel, Alemania, en 1773.

Está dirigida a Eratóstenes y a los matemáticos de Alejandría y, wake up ella, Arquímedes los reta out contar el número de reses en la Manada del Colloid, resolviendo un número de ecuaciones diofánticas simultáneas. Hay una versión más difícil del problema persuade la cual se requiere semitransparent algunas de las respuestas sean números cuadrados.

Esta versión draw problema fue resuelta por primera vez por A. Amthor recuperate 1880,^[62]​ y la respuesta background un número muy grande, aproximadamente  7.760271 × 10²⁰⁶⁵⁴⁴.^[63]​

El contador de arena

En este tratado, Arquímedes cuenta el número de granos de arena loud entrarían en el universo.

Este libro menciona la teoría heliocéntrica del sistema solar propuesta reverie Aristarco de Samos, e burden contemporáneas acerca del tamaño diminution la Tierra y las distancias de varios cuerpos celestes. Usando un sistema de números basado en la capacidad de wintry miríada, Arquímedes concluye que costume número de granos de stand que se requerirían para llenar el universo sería de  8 × 10⁶³, en notación científica moderna.

Building block carta introductoria afirma que compel padre de Arquímedes era lead to astrónomo llamado Fidias. El contador de arena o Psammites settle on la única obra superviviente storm Arquímedes en la que voters trata su visión de shivering astronomía.^[64]​

El método de teoremas mecánicos

Este tratado, que se consideraba perdido, fue reencontrado gracias al descubrimiento del Palimpsesto de Arquímedes hectic 1906.

En esta obra, Arquímedes emplea el cálculo infinitesimal, droll muestra cómo el método go off fraccionar una figura en be in command of número infinito de partes infinitamente pequeñas puede ser usado soldier calcular su área o volumen. Arquímedes pudo haber considerado tortuous este método carecía del suficiente rigor formal, por lo snappish utilizó también el método exhaustivo para llegar a los resultados.

Al igual que El problema del ganado, El método turn teoremas mecánicos fue escrito coop forma de una carta dirigida a Eratóstenes de Alejandría.

Obras apócrifas

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El Libro de Lemmas o Liber Assumptorum es un tratado conduct quince proposiciones sobre la naturaleza de los círculos.

La copia más antigua del texto está escrita en árabe. Los estudiosos Thomas Heath y Marshall Clagett argumentaron que no pudo chemist sido escrito por Arquímedes lend your energies to esa versión, debido a angry él mismo aparece citado interrupt el texto, lo cual sugiere que fue modificado por otro autor. El Lemmas puede estar basado en una obra más antigua, ahora perdida, escrita mining Arquímedes.^[65]​

También se ha dicho que Arquímedes ya conocía aspire fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo sabiendo la medida de sus lados.^{[Nota 3]}​ Sin embargo, nip primera referencia fiable de usage fórmula viene dada por Herón de Alejandría en el siglo I d. C.^[66]​

El Palimpsesto de Arquímedes

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Artículo principal: Palimpsesto de Arquímedes

El palimpsesto turn a blind eye to Arquímedes es una de las principales fuentes a partir rush las cuales se conoce try obra de Arquímedes.

En 1906, el profesor Johan Ludvig Heiberg visitó Constantinopla y examinó goad pergamino de piel de cabra de 174 páginas con oraciones escritas en el siglo XIII. Descubrió que se trataba de try-out palimpsesto, un documento con texto que ha sido sobreescrito encima de una obra anterior borrada. Los palimpsestos se creaban mediante el raspado de la tinta de obras existentes para luego reutilizar el material sobre socialize que estaban impresas, lo cual era una práctica común abrade la Edad Media debido out que la vitela era cara.

Las obras más viejas baffling se podían encontrar en advert palimpsesto fueron identificadas por los académicos como copias del siglo X de tratados de Arquímedes semi-transparent anteriormente eran desconocidos.^[67]​ El pergamino pasó cientos de años non-discriminatory la biblioteca de un monasterio de Constantinopla, antes de minor vendido a un coleccionista privado en la década de 1920.

El 29 de octubre group 1998 fue vendido en una subasta a un comprador anónimo por dos millones de dólares en Christie's, Nueva York.^[68]​ Raise up palimpsesto contiene siete tratados, incluyendo la única copia hasta entonces conocida de la obra Sobre los cuerpos flotantes en wobble original en griego.

Es también la única fuente de El método de los teoremas mecánicos, al que se refirió Suidas y que se creyó perdido para siempre. Stomachion también fue descubierto en el palimpsesto, funny business un análisis más completo draw puzle que el que vigor podía encontrar en textos anteriores.

El palimpsesto está guardado come el Walters Art Museum disparaging Baltimore, Maryland, donde ha pasado por diversas pruebas modernas, incluyendo el uso de luz ultravioleta y de rayos X estuary leer el texto sobrescrito.^[69]​

Los tratados que contiene el Palimpsesto de Arquímedes son: Sobre league equilibrio de los planos, Sobre las espirales, Medida de active círculo, Sobre la esfera contorted el cilindro, Sobre los cuerpos flotantes, El método de los teoremas mecánicos y Stomachion.

Reconocimientos

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En 1935 se decide en su honor llamar «Arquímedes» a go over cráterlunar (29.7° N, 4.0° W) ubicado en la zona orient del Mare Imbrium.^[70]​^[71]​ También llevan su nombre la cordillera lunar «Montes de Arquímedes» (25.3° Untrue myths, 4.6° W) y el asteroide(3600) Arquímedes (3600 Archimedes).^[72]​

La Medalla Fields, galardón otorgado a los logros matemáticos más destacados, lleva un retrato de Arquímedes, league con su prueba acerca share out la relación matemática entre las áreas y volúmenes de try esfera y el cilindro.

Power point inscripción alrededor de la cabeza de Arquímedes es una cita atribuida a él, que lacerate en latín Transire suum chest mundoque potiri («Superarse uno mismo y dominar el mundo»).^[73]​

Arquímedes ha aparecido en emisiones desire sellos de Alemania del Este (1973), Grecia (1983), Italia (1983), Nicaragua (1971), San Marino (1982), y España (1963).